SEJARAH 1905

BAB  1

PENDAHULUAN

1.1. Sejarah, Definisi dan Pengertian Umum

Kata hidrodinamika pertama dikenalkan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1700-1783 untuk mengenalkan dua macam ilmu hidrostatik dan hidraulik. Beliaupun mengeluarkan teori yang terkenal dengan nama teori Bernoulli. Kemudian d’Alembert pada tahun 1717-1783 melakukan penelitian mengenai tahanan, dan menghasilkan paradox atas nama dirinya dan mengenalkan teori hukum konservasi massa, persamaan kontinyuitas pada aliran fluida. Euler pada tahun 1707-1783 menghasilkan persamaan gerak fluida ideal dan mengembangkan teori matematisnya dan dilanjutkan oleh Lagrange pada tahun 1736-1813. Navier pada tahun 1785-1836 menyatakan penemuan tentang persamaan gerak untuk fluida berviskositas berdasarkan interkasi molekul. Stokes pada tahun 1819-1903 juga menemukan persamaan gerak untuk fluida berviskositas, beliau terkenal dengan penemuan teori mdern hidrodinamika. Rankine pada tahun 1820-1872 mengembangkan teori sumber (source) dan sumur (sinks). Helmholtz pada tahun 1821-1894  mengenalkan teori potensial kecepatan (velocity potential) dan menemukan teori vortex dan pergerakan yang tidak berlanjut. Kirchhhof pada tahun 1824-1887 dan Rayleigh pada tahun 1842-1919 melanjutkan  penelitian mengenai pergerakan yang tidak berlanjut suatu fluida dan tahanannya. Osborne Reynolds pada tahun 1842-1912 melakukan penelitian tentang pergerakan fluida berviskositas, mengenalkan konsep aliran laminar dan turbulent dan mengenalkan perubahan yang tiba-tiba pada fluida dari satu regime keregime lainnya. Joukowski pada tahun 1847-1921 mengembangkan teori dari perencanaan aerofoil dan teori tersebut terkenal dengan namanya sendiri. Lanchester pada tahun 1868-1945 mengembangkan dua teori modern tentang penerbangan, pertama ide sirkulasi yang mnyebabkan gaya angkat dan kedua ide adnya ulekan diujung foil yang menghasilkan  gaya drag. Prandtl pada tahun 1875-1953  mengenalkan teori lapisan batas (boundary layer) sehingga mengenalkan ide fluida viscous dan inviscid.

Kata Hidrodinamika mempunyai pengertian bahwa suatu ilmu yang mempelajari tentang phenomena yang terjadi pada fluida dimana fluida diasumsikan incompressible dan inviscid (zero viscosity). Analisa aliran fluida dapat menggambarkan bentuk dari aliran dimana sesuai perkiraan dari aliran sebenarnya pada daerah di luar lapisan batas (boundary layer). Pada umumnya fluida akan mengalami deformasi, elastis, plastis dan mengalir akibat adanya gaya. Fluida terbagi menjadi gas (gases) dan air (liquid), untuk gas (gases) pada umumnya diklasifikasikan pada fluida kompresibel (compressible fluid) dan air (liquid)  diklasifikasikan sebagai aliran yang tidak mengalami perubahan tekanan (incompressible fluids). Di dalam analisa hidrodinamika maka secara keseluruhan  fluida dianggap incompressible. Dalam hal ini pengertian liquid dapat diartikan sebagai air meskipun sedikit mempunyai viskositas. Untuk mempermudah  didalam perhitungan matematisnya maka digunakan pengertian ilmu mekanika dan memprmudah assumsi dengan menganggap bahwa fluida  adalah inviscid atau fluida ideal.

Inviscid fluid adalah fluida tidak mengalami perubahan viskositas, viskositasnya kontinyu dan gesekan antar partikelnya relatif kecil. Lebih jauh lagi, apabila fluida mengalir dalam suatu pipa maka tangential stress  pada fluida sama dengan nol, sehingga tidak ada energi dan fluida dapat mengalir bebas tanpa adanya hambatan.

Satuan yang sering digunakan didalam analisa hidrodinamika adalah  panjang, massa, waktu, temperature, kecepatan, percepatan, gaya, tekanan dan energi. Dalam perhitungan matematisnya satuan tersebut dalam besaran dan arah, sebagai contoh dalam sistem dinamika maka suatu penurunan  dapat diartikan mempunyai  panjang, massa dan waktu, dan berubah unit satuannya dari foot, pound, detik ke mile, ton dan jam.

1.2. Kecepatan.

Pada fluida dimana alirannya kontinyu maka dapat diartikan bahwa fluida diassumsikan suatu partikel yang kecil yang mempunyai volume sangat kecil, sehingga dimensi  liniernya diabaikan. Kemudian dapat dianggap partikel fluida tersebut sebagai titik geometri untuk dapat digunakan dalam analisa hidrodinamis  kecepatan dan percepatan.

                        Gambar 1.2.1. Pergerakan partikel.

Dari gambar 1.2.1. terlihat bahwa partikel dengan waktu t pada titik P dapat ditulis dalam bentuk vector :

pada waktu t₁ partikel akan bergerak ke titik Q, dan dalam bentuk vector ditulis :

Kecepatan partikel pada P dapat ditulis:

         , sehingga kecepatan q sebagai fungsi r dan t, menjadi:

Jika fungsi f diketahui maka dapat diketahui pula pergerakan dari fluida. Untuk setiap titik dapat digambarkan suatu garis yang mewakili vector q. Pada fluida

1.3. Streamlines dan Pathlines

Streamlines adalah suatu garis yang digambarkan dalam suatu fluida dimana selalu membuat sudut tangensial setiap titiknya pada arah dengan kecepatan tertentu. Apabila kecepatan  partikel pada suatu titik tertentu tidak tergantung dari pada posisinya dan juga waktu, maka streamlines tersebut akan berubah dari keadaan sesaatnya. Apabila kecepatan pada setiap titik tidak tergantung waktu maka bentuk aliran akan sama setiap waktu dan pergerakannya disebut steady. Setiap pergerakan fluida dikatakan steady apabila superposisi dari sistem mempunyai kecepatan konstan. Kurva yang menggambarkan pergerakan suatu partikel fluida disebut path line. Untuk aliran steady path line sejajar dengan streamlines.

Displacement elemen ds dari partikel fluida dapat didefinisikan dengan persamaan vector ds = v dt, dimana valid baik untuk besaran maupun arahnya, dan ditulis:

Pada waktu t_o , persamaan dx = u dt, dy = v dt dan dz = w dt menjadi

, ini adalah definisi matematis dari streamline. Untuk 2-D ditulis  atau v dx – u dy = 0.

                                         Gambar1.3.1.Streamlines.

 adalah bentuk matematis dari pathline.

1.4. Stream Tubes dan Filaments.

Apabila digambarkan kumpulan dari garis streamline maka akan didapatkan apa yang disebut dengan stream tube. Stream filament adalah stream tube yang mempunyai penampang melintang dengan dimensi tidak terbatas. Apabila aliran fluida pergerakannya tergantung pada waktu maka konfigurasi dari stream tubes dan filament berubah setiap saat.

Sebuah fluida dengan stream filament bergerak pada aliran steady, maka luas penampang melintang dari filament relative kecil, sehingga dianggap kecepatan partikelnya sama setiap saat pada luasan tersebut, dimana tegak lurus terhadap arah kecepatannya. Lihat q₁, q₂ adalah kecepatan dari luasan melintang s₁, s₂ .

                             Gambar 1.4.1. Stream filament.

Apabila fluida incompressible maka influx = efflux, sehingga q₁ s₁= q₂ s₂ . Dengan kata lain bahwa konservasi massa atau persamaan kontinyuitas (equation of continuity), menyatakan bahwa massa fluida influx dalam suatu volume fluida selalu sama dengan efflux.

Fluida terbagi menjadi dua bagian utama sehubungan dengan fungsi waktunya, yaitu :

1. Aliran Steady : suatu aliran yang tidak tergantung oleh waktu (time-independent flow), jadi streamlines. Streakline dan pathnya adalah identik.

2. Aliran Unsteady : suatu aliran yang tergantung oleh waktu (time-dependent flow), aliran berubah untuk stiap saat.

1.5. Densitas

Jika M adalah massa dari suatu fluida  didalam suatu volume  V, maka dapat ditulis M = V r₁, dimana r₁ adalah densitas rata-rata dari fluida didalam volume. Dalam matematika dikatakan densitas r₁ sebagai limit dari r₁ apabila V®0, kecuali untuk fluida sesungguhnya, dimana molekulnya masih mepunyai kecepatan.

1.6. Tekanan

Sebuah luasan ds dengan pusat pada titik P (pada fluida), sehingga garis normal PN pada Gambar 1.6.1. mempunyai arah positif, dan pada arah berlawanan disebut negatif.

                 Gambar 1.6.1. Tekanan positive dan negative pada luasan ds.

Jadi fluida pada bagian positive menekan fluida pada bagian negativenya dengan gaya tekan sebesar p ds. Pada fluida yang diassumsikan inviscid (tidak ada perubahan viskositas), dimana tidak ada tangensial stress, p disebut tekanan pada titik P. Dengan kata lain pada fluida inviscid tekanan pada titip P tidak mempunyai arah.

1.7. Teori Bernoulli.

Pada aliran steady pada fluida inviscid mempunyai jumlah  mempunyai harga yang sama pada setiap titik pada garis streamline, dimana p adalah tekanan, r adalah densitas dan K adalah energi perunit massa dari fluida. Pembuktiannya dapat dilIhat PADA uraian dibawah ini. Pada Gambar 1.7.1. suatu aliran filament yang dibatasi oleh luas penampang melintang AB, CD dari luas s₁ dan s₂, dimana p₁, q₁, K₁ merefer pada AB, sehingga p₂, q₂, K₂ pada CD.

Gambar 1.7.1. Aliran fluida.

Pada waktu dt f;uida ABCD akan bergerak keposisi A’B’C’D’ dimana

AA’= q₁dt  dan  CC’= q₂dt .

Massa m dari fluida antara AB dan A’B’, atau antara CD dan C’D’ adalah

m = s₁ q₁ dt r₁ = s₂ q₂ dt r₂.

Kerja yang disebabkan oleh tekanan karena fluida bergerak mengenai benda dari ABCD ke A’B’C’D’ adalah :

Kerja (work done) sehubungan dengan energi menjadi :

Pada kasus fluida pada aliran steady dengan adnya gravitasi dan r konstan dan K adalah penjumlahan energi potensial dan kinetik per unit massa, , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan gravitasi bumi, sehingga persamaan Bernoulli menjadi : sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya menjadi : . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis : , dimana W adalah energi potensial per unit massa.

1.8. Massa Tambah (Added Mass ).

Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur bangunan laut:

1     Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang pada umumnya disbut massa tambah (added mass).

2.  Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.

Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya, untuk silinder M_am (massa tambah) adalah rpr², dimana r adalah massa jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya dapat dihitung sebagai berikut :

,

dimana M adalah massa air yang dipindahkan oleh struktur, dan Cm pada umumnya diambil sama dengan 2,0.

1.9.                    d’Alembert’s Paradox.

Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang cukup jauh aliran akan kembali tanpa adanya gangguan. Untuk mempertahankan  posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.

                                                Gambar 1.9.1. d’Alembert’s Paradox.

      Gaya luar seperti gravitasi  diabaikan, sehingga F adalah resultan pada arah aliran dari tekanan yang bekerja pada lapisan A.

1.10.     Aliran melalui suatu benda.

Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.

                        Gambar 1.10.1. Vortex Shedding.

1.11.     Matematika Review.

Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi  alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan adalah sebagai berikut:

a) Alphabet Yunani

Alpha			Nu		
Beta			Xi		
Gamma			Omieron		
Delta			Pi		
Epsilon			Rho		
Zeta			Sigma		
Eta			Tau		
Theta			Upsilon		
Iota			Phi		
Kappa			Chi		
Lambda			Psi		
Mu			Omega		

1.11.1.Fourier Series.

Fourier series adalah series yang tidak terbatas  dari fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari gelombang laut . Jika f(x) sebagai suatu fungsi dengan interval dan periodic dengan periode 2p, kemudian f(x) dapat  direpresentatifkan dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:

dimana koefisien a_n dan b_n didapatkan dari integrasl :

Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai , dimana  dalam hal ini x₀ = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval , maka:

Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :

dimana .

Jika f(x) dibatasi oleh limit –L £ x £ L dan kemudian dengan perubahan variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:

dimana

              dan    

Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T dalam interval –T/2 £ t £ T/2 dan kemudian subsitusi kedalam persamaan f(x) menjadi: , dimana a_n dan b_n adalah:

        dan     .

Contoh:

 simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a, maka

b_n = 0, sehingga :  dan

, dimana = 0 untuk n genapdan mempunyai harga dari  untuk n = 0, 1, 2, ….. Jadi Fourier series dari f(x) dapat ditulis :

                        Gambar 1.11.1. Fungsi f(x) untuk Series Fourier.

1.11.2. Komplek Variabel.

Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh, profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y adalah angka riil dan i adalah imajiner (i² = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel komplek.

Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan dalam koordinat polar  dengan jarak r dari O dan susut q dari x positive maka x = r cos q dan y = r sin q. Dalam bentuk komplek ditulis  z = x ± iy = r (cos q ± I sin q) = re^{± iq}, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu:

Gambar 1.11.2. Definisi dari bidang komplek.

Operasi penyelesaian komplek dar z = z₁ z₂, dimana z₁= a₁ + ib₁ = r₁ e^iq1 dan

z₂= a₂ + ib₂ = r₂ e^iq1, sehingga  z = (a₁ a₂ – b₁ b₂ ) + i( a₁ b₂ + a₂ b₁ ) dan untuk koordinat polarnya adalah z = r₁ r₂ e(^q1+q2)_.

Catatan :  cos kq = ½ (e^ikq + e^-ikq) dan     sin kq = ½ (e^ikq + e^-ikq), dengan aljabar komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..

1.11.3. Singularity.

Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z₀ adalah titik singular dari f(z), maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z₀ | = d, dimana  d > 0. Untuk integer positive n maka :

dimana z = z₀ disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.

1.11.4. Integrasi Komplek.

Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya  atau disebut  garis integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan bahwa: , demikian pula untuk masalah 3D (tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.

Gambar 1.11.4.1. Garis Integral.

Gambar 1.11.4.2. Macam-macam pembagian daerah (regions).

Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada kurva tertutup C dan a adalah titik sebarang didalam C, maka , dimana C positive berlawanan arah jarum jam.  Secara umum untuk turunan ke n dari f(z) pada z = a, ditulis: Rumus integrasi dari Cauchy banyak digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori radiasi.

1.11.5. Fungsi Hiperbolik.

Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk fungsi exponensial :

Dalam bentuk series: dan sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:

Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X^” + k² X = 0, maka  sin kx dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian persamaan kearah x adalah: . Sebagai contoh untuk penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W, dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S, antara titik B dan P.

Gambar 1.11.5. Kabel Mooring Statis.

Apabila kordinat pada titik B (x,y), maka  dan T tegangan yang bekerja pada P yang membuat sudut q terhadap dasar laut sehingga . Dari persamaan diferensial biasa , sehingga .

Pemecahan persoalan dari catenary yaitu: .

Panjang antara B ke P adalah .

1.11.6. Fungsi Bessel.

Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis sebagai berikut:

Penyelesaian umumnya adalah : untuk semua integer n, dimana J_n adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Y_n adalah fungsi Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah J_n dapat ditulis dalam bentuk series ke x sebagai:

dari hubungannya maka dapat ditulis: , dimana n = 0,1,2,…. Fungsi Bessel untuk order kedua n sehubungan dengan orde pertamanya adalah :

juga Y₁ (x) = -Y^’₀ (x) dan  Y_-n (x) = (-1)ⁿ Y_n (x), untuk n=0,1,2,….

Fungsi Hankel untuk orde pertama dalam bentuk komplek ditulis:

Sedangkan untuk orde keduanya ditulis:

Bentuk umum dari fungsi Bessel adalah:

1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.

Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel, maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai contoh, suatu persamaan lingkaran: , kemudian . Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari satu variabel t, maka dapat ditulis: .

1.11.8. Vektor dan Tensor.

Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan. Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan kecepatan momentum. Jadi jika I_a adalah unit vektor pararel terhadap vektor a, maka a = . I_a

Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah q, sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos q. Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA, sehingga OA = a, OM = b cos q, dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-q) = ab cos q = ab.

                        Gambar 1.11.8.1. Skalar hasil dari perkalian vector.

            Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut q diukur dari a ke b. Perkalian vector a _Ù b sebagai vector dengan besaran ab sin q, dimana tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut, sehingga didapatkan ba sin (-q) = -ab sin q dan a _Ù b = - b _Ù a.

                        Gambar 1.11.8.2. Vektor dari hasil perkalian vector.

Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut w, dimana r adalah posisi vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus w, kemudian kecepatan dari P adalah wOP sin q tegak lurus pada bidang PON sehingga  menghasilkan vector w _Ù r.

            Gambar 1.11.8.3. Contoh dari perkalian vector.

Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P adalah r _Ù F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum distributive, yaitu :

a (b+c) = ab + ac dan a _Ù (b+c) = a _Ù b + a _Ù c

1.11.8.1. Vektor

1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.

a)    Hasil triple scalar.

Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r _Ù c) disebut triple scalar. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisi-sisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh volumenya.

Gambar 1.11.8.1.1. Contoh dari perkalian vector.

Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:

a (b _Ù c) = b (c _Ù a) = c (a _Ù b)

a (b _Ù c) = - a (c _Ù b)   à dimana b _Ù c = -c _Ù b

(a _Ù b) c = a (b _Ù c) = [abc]

Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar maka

[aab] = 0

b)   Hasil triple vektor.

Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a _Ù (b _Ù c) adalah hasil perkalian tiga vector. Apabila diketahui a _Ù (b _Ù c) = - a _Ù (c _Ù b) =  (c _Ù b) _Ù a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :

a _Ù (b _Ù c) = -(ab) c + (ac) b

      c)  Resolusi vector.

            Apabila a, b, c adalah tiga vector,  tidak coplanar dan x adalah vector arbitrary maka:

                      (i)  x [a (b _Ù c)] = a [ (b _Ù c) x] + b [(c _Ù a) x] + c [(a _Ù b) x]

                      (ii) x [a (b _Ù c) = (b _Ù c) (ax) + (c _Ù a) (bx) + (a _Ù b) (cx)

        Tensor

            Scalar l dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas, dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :

(1) l,   a,    a;b,   a ; b ; c,    a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.

(2) a ; b ; c =   (a ; b) ; c = a ; (b ; c)

(3)  a ; b ; c ; d =  (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d   

(4) l ; b ; c = (l ; b) ; c = l ; (b ; c)

(5) l b ; c = (l b) ; c = l ( b ; c)

(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)

(7) (a ; b)  (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)

(8) (a ; b) ..  (c ; d) = (ad) (bc)

(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)

(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b)  = (b ; a) ..  (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a)

(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d)

(12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C,      (B+C) ; A = B ; A + C ; A

(13) (a _Ù b) _Ù c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)

                        = c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)]

(14) A(x+y) = Ax + Ay,    (x+y)A = xA + yA

Definisi dari Tensor.

Sebuah vektor linier dengan operator F^(r) disebut tensor dari r, jika F⁽⁰⁾  scalar, dan jika untuk setiap integer positif r ³ 1dan untuk setiap vector x, F^(r) x adalah tensor r – 1. Apabila i₁ , i₂ , i₃, adalah vector yang saling tegak lurus maka dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x₁ i₁ ,x₂ i₂ , x₃ i_3.  Misalkan F adalah tensor ke2 pada bidang ke3, maka :

F_x = Fx₁ i₁  + Fx₂ i₂  + Fx₃ i₃

= Fi₁ (i₁x) + Fi₂ (i₂x)  + F i₃ (i₃x)

= [(Fi₁);i₁ + (Fi₂); i₂  + (Fi₃); i₃]x

1.12.     Definisi-definisi.

A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.

A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan posisi dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.

A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1 terhadap streamlinenya pada setiap waktu.

Viskositas : Koefisien viskositas () ada1ah perbandingan dari shear stress () pada setiap titik di da1am a1iran terhadap gaya geser rata-rata pada setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.

BAB  1

PENDAHULUAN

1.1. Sejarah, Definisi dan Pengertian Umum

Kata hidrodinamika pertama dikenalkan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1700-1783 untuk mengenalkan dua macam ilmu hidrostatik dan hidraulik. Beliaupun mengeluarkan teori yang terkenal dengan nama teori Bernoulli. Kemudian d’Alembert pada tahun 1717-1783 melakukan penelitian mengenai tahanan, dan menghasilkan paradox atas nama dirinya dan mengenalkan teori hukum konservasi massa, persamaan kontinyuitas pada aliran fluida. Euler pada tahun 1707-1783 menghasilkan persamaan gerak fluida ideal dan mengembangkan teori matematisnya dan dilanjutkan oleh Lagrange pada tahun 1736-1813. Navier pada tahun 1785-1836 menyatakan penemuan tentang persamaan gerak untuk fluida berviskositas berdasarkan interkasi molekul. Stokes pada tahun 1819-1903 juga menemukan persamaan gerak untuk fluida berviskositas, beliau terkenal dengan penemuan teori mdern hidrodinamika. Rankine pada tahun 1820-1872 mengembangkan teori sumber (source) dan sumur (sinks). Helmholtz pada tahun 1821-1894  mengenalkan teori potensial kecepatan (velocity potential) dan menemukan teori vortex dan pergerakan yang tidak berlanjut. Kirchhhof pada tahun 1824-1887 dan Rayleigh pada tahun 1842-1919 melanjutkan  penelitian mengenai pergerakan yang tidak berlanjut suatu fluida dan tahanannya. Osborne Reynolds pada tahun 1842-1912 melakukan penelitian tentang pergerakan fluida berviskositas, mengenalkan konsep aliran laminar dan turbulent dan mengenalkan perubahan yang tiba-tiba pada fluida dari satu regime keregime lainnya. Joukowski pada tahun 1847-1921 mengembangkan teori dari perencanaan aerofoil dan teori tersebut terkenal dengan namanya sendiri. Lanchester pada tahun 1868-1945 mengembangkan dua teori modern tentang penerbangan, pertama ide sirkulasi yang mnyebabkan gaya angkat dan kedua ide adnya ulekan diujung foil yang menghasilkan  gaya drag. Prandtl pada tahun 1875-1953  mengenalkan teori lapisan batas (boundary layer) sehingga mengenalkan ide fluida viscous dan inviscid.

Kata Hidrodinamika mempunyai pengertian bahwa suatu ilmu yang mempelajari tentang phenomena yang terjadi pada fluida dimana fluida diasumsikan incompressible dan inviscid (zero viscosity). Analisa aliran fluida dapat menggambarkan bentuk dari aliran dimana sesuai perkiraan dari aliran sebenarnya pada daerah di luar lapisan batas (boundary layer). Pada umumnya fluida akan mengalami deformasi, elastis, plastis dan mengalir akibat adanya gaya. Fluida terbagi menjadi gas (gases) dan air (liquid), untuk gas (gases) pada umumnya diklasifikasikan pada fluida kompresibel (compressible fluid) dan air (liquid)  diklasifikasikan sebagai aliran yang tidak mengalami perubahan tekanan (incompressible fluids). Di dalam analisa hidrodinamika maka secara keseluruhan  fluida dianggap incompressible. Dalam hal ini pengertian liquid dapat diartikan sebagai air meskipun sedikit mempunyai viskositas. Untuk mempermudah  didalam perhitungan matematisnya maka digunakan pengertian ilmu mekanika dan memprmudah assumsi dengan menganggap bahwa fluida  adalah inviscid atau fluida ideal.

Inviscid fluid adalah fluida tidak mengalami perubahan viskositas, viskositasnya kontinyu dan gesekan antar partikelnya relatif kecil. Lebih jauh lagi, apabila fluida mengalir dalam suatu pipa maka tangential stress  pada fluida sama dengan nol, sehingga tidak ada energi dan fluida dapat mengalir bebas tanpa adanya hambatan.

Satuan yang sering digunakan didalam analisa hidrodinamika adalah  panjang, massa, waktu, temperature, kecepatan, percepatan, gaya, tekanan dan energi. Dalam perhitungan matematisnya satuan tersebut dalam besaran dan arah, sebagai contoh dalam sistem dinamika maka suatu penurunan  dapat diartikan mempunyai  panjang, massa dan waktu, dan berubah unit satuannya dari foot, pound, detik ke mile, ton dan jam.

1.2. Kecepatan.

Pada fluida dimana alirannya kontinyu maka dapat diartikan bahwa fluida diassumsikan suatu partikel yang kecil yang mempunyai volume sangat kecil, sehingga dimensi  liniernya diabaikan. Kemudian dapat dianggap partikel fluida tersebut sebagai titik geometri untuk dapat digunakan dalam analisa hidrodinamis  kecepatan dan percepatan.

                        Gambar 1.2.1. Pergerakan partikel.

Dari gambar 1.2.1. terlihat bahwa partikel dengan waktu t pada titik P dapat ditulis dalam bentuk vector :

pada waktu t₁ partikel akan bergerak ke titik Q, dan dalam bentuk vector ditulis :

Kecepatan partikel pada P dapat ditulis:

         , sehingga kecepatan q sebagai fungsi r dan t, menjadi:

Jika fungsi f diketahui maka dapat diketahui pula pergerakan dari fluida. Untuk setiap titik dapat digambarkan suatu garis yang mewakili vector q. Pada fluida

1.3. Streamlines dan Pathlines

Streamlines adalah suatu garis yang digambarkan dalam suatu fluida dimana selalu membuat sudut tangensial setiap titiknya pada arah dengan kecepatan tertentu. Apabila kecepatan  partikel pada suatu titik tertentu tidak tergantung dari pada posisinya dan juga waktu, maka streamlines tersebut akan berubah dari keadaan sesaatnya. Apabila kecepatan pada setiap titik tidak tergantung waktu maka bentuk aliran akan sama setiap waktu dan pergerakannya disebut steady. Setiap pergerakan fluida dikatakan steady apabila superposisi dari sistem mempunyai kecepatan konstan. Kurva yang menggambarkan pergerakan suatu partikel fluida disebut path line. Untuk aliran steady path line sejajar dengan streamlines.

Displacement elemen ds dari partikel fluida dapat didefinisikan dengan persamaan vector ds = v dt, dimana valid baik untuk besaran maupun arahnya, dan ditulis:

Pada waktu t_o , persamaan dx = u dt, dy = v dt dan dz = w dt menjadi

, ini adalah definisi matematis dari streamline. Untuk 2-D ditulis  atau v dx – u dy = 0.

                                         Gambar1.3.1.Streamlines.

 adalah bentuk matematis dari pathline.

1.4. Stream Tubes dan Filaments.

Apabila digambarkan kumpulan dari garis streamline maka akan didapatkan apa yang disebut dengan stream tube. Stream filament adalah stream tube yang mempunyai penampang melintang dengan dimensi tidak terbatas. Apabila aliran fluida pergerakannya tergantung pada waktu maka konfigurasi dari stream tubes dan filament berubah setiap saat.

Sebuah fluida dengan stream filament bergerak pada aliran steady, maka luas penampang melintang dari filament relative kecil, sehingga dianggap kecepatan partikelnya sama setiap saat pada luasan tersebut, dimana tegak lurus terhadap arah kecepatannya. Lihat q₁, q₂ adalah kecepatan dari luasan melintang s₁, s₂ .

                             Gambar 1.4.1. Stream filament.

Apabila fluida incompressible maka influx = efflux, sehingga q₁ s₁= q₂ s₂ . Dengan kata lain bahwa konservasi massa atau persamaan kontinyuitas (equation of continuity), menyatakan bahwa massa fluida influx dalam suatu volume fluida selalu sama dengan efflux.

Fluida terbagi menjadi dua bagian utama sehubungan dengan fungsi waktunya, yaitu :

1. Aliran Steady : suatu aliran yang tidak tergantung oleh waktu (time-independent flow), jadi streamlines. Streakline dan pathnya adalah identik.

2. Aliran Unsteady : suatu aliran yang tergantung oleh waktu (time-dependent flow), aliran berubah untuk stiap saat.

1.5. Densitas

Jika M adalah massa dari suatu fluida  didalam suatu volume  V, maka dapat ditulis M = V r₁, dimana r₁ adalah densitas rata-rata dari fluida didalam volume. Dalam matematika dikatakan densitas r₁ sebagai limit dari r₁ apabila V®0, kecuali untuk fluida sesungguhnya, dimana molekulnya masih mepunyai kecepatan.

1.6. Tekanan

Sebuah luasan ds dengan pusat pada titik P (pada fluida), sehingga garis normal PN pada Gambar 1.6.1. mempunyai arah positif, dan pada arah berlawanan disebut negatif.

                 Gambar 1.6.1. Tekanan positive dan negative pada luasan ds.

Jadi fluida pada bagian positive menekan fluida pada bagian negativenya dengan gaya tekan sebesar p ds. Pada fluida yang diassumsikan inviscid (tidak ada perubahan viskositas), dimana tidak ada tangensial stress, p disebut tekanan pada titik P. Dengan kata lain pada fluida inviscid tekanan pada titip P tidak mempunyai arah.

1.7. Teori Bernoulli.

Pada aliran steady pada fluida inviscid mempunyai jumlah  mempunyai harga yang sama pada setiap titik pada garis streamline, dimana p adalah tekanan, r adalah densitas dan K adalah energi perunit massa dari fluida. Pembuktiannya dapat dilIhat PADA uraian dibawah ini. Pada Gambar 1.7.1. suatu aliran filament yang dibatasi oleh luas penampang melintang AB, CD dari luas s₁ dan s₂, dimana p₁, q₁, K₁ merefer pada AB, sehingga p₂, q₂, K₂ pada CD.

Gambar 1.7.1. Aliran fluida.

Pada waktu dt f;uida ABCD akan bergerak keposisi A’B’C’D’ dimana

AA’= q₁dt  dan  CC’= q₂dt .

Massa m dari fluida antara AB dan A’B’, atau antara CD dan C’D’ adalah

m = s₁ q₁ dt r₁ = s₂ q₂ dt r₂.

Kerja yang disebabkan oleh tekanan karena fluida bergerak mengenai benda dari ABCD ke A’B’C’D’ adalah :

Kerja (work done) sehubungan dengan energi menjadi :

Pada kasus fluida pada aliran steady dengan adnya gravitasi dan r konstan dan K adalah penjumlahan energi potensial dan kinetik per unit massa, , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan gravitasi bumi, sehingga persamaan Bernoulli menjadi : sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya menjadi : . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis : , dimana W adalah energi potensial per unit massa.

1.8. Massa Tambah (Added Mass ).

Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur bangunan laut:

1     Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang pada umumnya disbut massa tambah (added mass).

2.  Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.

Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya, untuk silinder M_am (massa tambah) adalah rpr², dimana r adalah massa jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya dapat dihitung sebagai berikut :

,

dimana M adalah massa air yang dipindahkan oleh struktur, dan Cm pada umumnya diambil sama dengan 2,0.

1.9.                    d’Alembert’s Paradox.

Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang cukup jauh aliran akan kembali tanpa adanya gangguan. Untuk mempertahankan  posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.

                                                Gambar 1.9.1. d’Alembert’s Paradox.

      Gaya luar seperti gravitasi  diabaikan, sehingga F adalah resultan pada arah aliran dari tekanan yang bekerja pada lapisan A.

1.10.     Aliran melalui suatu benda.

Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.

                        Gambar 1.10.1. Vortex Shedding.

1.11.     Matematika Review.

Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi  alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan adalah sebagai berikut:

a) Alphabet Yunani

Alpha			Nu		
Beta			Xi		
Gamma			Omieron		
Delta			Pi		
Epsilon			Rho		
Zeta			Sigma		
Eta			Tau		
Theta			Upsilon		
Iota			Phi		
Kappa			Chi		
Lambda			Psi		
Mu			Omega		

1.11.1.Fourier Series.

Fourier series adalah series yang tidak terbatas  dari fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari gelombang laut . Jika f(x) sebagai suatu fungsi dengan interval dan periodic dengan periode 2p, kemudian f(x) dapat  direpresentatifkan dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:

dimana koefisien a_n dan b_n didapatkan dari integrasl :

Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai , dimana  dalam hal ini x₀ = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval , maka:

Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :

dimana .

Jika f(x) dibatasi oleh limit –L £ x £ L dan kemudian dengan perubahan variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:

dimana

              dan    

Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T dalam interval –T/2 £ t £ T/2 dan kemudian subsitusi kedalam persamaan f(x) menjadi: , dimana a_n dan b_n adalah:

        dan     .

Contoh:

 simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a, maka

b_n = 0, sehingga :  dan

, dimana = 0 untuk n genapdan mempunyai harga dari  untuk n = 0, 1, 2, ….. Jadi Fourier series dari f(x) dapat ditulis :

                        Gambar 1.11.1. Fungsi f(x) untuk Series Fourier.

1.11.2. Komplek Variabel.

Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh, profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y adalah angka riil dan i adalah imajiner (i² = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel komplek.

Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan dalam koordinat polar  dengan jarak r dari O dan susut q dari x positive maka x = r cos q dan y = r sin q. Dalam bentuk komplek ditulis  z = x ± iy = r (cos q ± I sin q) = re^{± iq}, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu:

Gambar 1.11.2. Definisi dari bidang komplek.

Operasi penyelesaian komplek dar z = z₁ z₂, dimana z₁= a₁ + ib₁ = r₁ e^iq1 dan

z₂= a₂ + ib₂ = r₂ e^iq1, sehingga  z = (a₁ a₂ – b₁ b₂ ) + i( a₁ b₂ + a₂ b₁ ) dan untuk koordinat polarnya adalah z = r₁ r₂ e(^q1+q2)_.

Catatan :  cos kq = ½ (e^ikq + e^-ikq) dan     sin kq = ½ (e^ikq + e^-ikq), dengan aljabar komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..

1.11.3. Singularity.

Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z₀ adalah titik singular dari f(z), maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z₀ | = d, dimana  d > 0. Untuk integer positive n maka :

dimana z = z₀ disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.

1.11.4. Integrasi Komplek.

Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya  atau disebut  garis integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan bahwa: , demikian pula untuk masalah 3D (tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.

Gambar 1.11.4.1. Garis Integral.

Gambar 1.11.4.2. Macam-macam pembagian daerah (regions).

Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada kurva tertutup C dan a adalah titik sebarang didalam C, maka , dimana C positive berlawanan arah jarum jam.  Secara umum untuk turunan ke n dari f(z) pada z = a, ditulis: Rumus integrasi dari Cauchy banyak digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori radiasi.

1.11.5. Fungsi Hiperbolik.

Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk fungsi exponensial :

Dalam bentuk series: dan sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:

Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X^” + k² X = 0, maka  sin kx dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian persamaan kearah x adalah: . Sebagai contoh untuk penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W, dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S, antara titik B dan P.

Gambar 1.11.5. Kabel Mooring Statis.

Apabila kordinat pada titik B (x,y), maka  dan T tegangan yang bekerja pada P yang membuat sudut q terhadap dasar laut sehingga . Dari persamaan diferensial biasa , sehingga .

Pemecahan persoalan dari catenary yaitu: .

Panjang antara B ke P adalah .

1.11.6. Fungsi Bessel.

Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis sebagai berikut:

Penyelesaian umumnya adalah : untuk semua integer n, dimana J_n adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Y_n adalah fungsi Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah J_n dapat ditulis dalam bentuk series ke x sebagai:

dari hubungannya maka dapat ditulis: , dimana n = 0,1,2,…. Fungsi Bessel untuk order kedua n sehubungan dengan orde pertamanya adalah :

juga Y₁ (x) = -Y^’₀ (x) dan  Y_-n (x) = (-1)ⁿ Y_n (x), untuk n=0,1,2,….

Fungsi Hankel untuk orde pertama dalam bentuk komplek ditulis:

Sedangkan untuk orde keduanya ditulis:

Bentuk umum dari fungsi Bessel adalah:

1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.

Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel, maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai contoh, suatu persamaan lingkaran: , kemudian . Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari satu variabel t, maka dapat ditulis: .

1.11.8. Vektor dan Tensor.

Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan. Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan kecepatan momentum. Jadi jika I_a adalah unit vektor pararel terhadap vektor a, maka a = . I_a

Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah q, sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos q. Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA, sehingga OA = a, OM = b cos q, dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-q) = ab cos q = ab.

                        Gambar 1.11.8.1. Skalar hasil dari perkalian vector.

            Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut q diukur dari a ke b. Perkalian vector a _Ù b sebagai vector dengan besaran ab sin q, dimana tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut, sehingga didapatkan ba sin (-q) = -ab sin q dan a _Ù b = - b _Ù a.

                        Gambar 1.11.8.2. Vektor dari hasil perkalian vector.

Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut w, dimana r adalah posisi vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus w, kemudian kecepatan dari P adalah wOP sin q tegak lurus pada bidang PON sehingga  menghasilkan vector w _Ù r.

            Gambar 1.11.8.3. Contoh dari perkalian vector.

Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P adalah r _Ù F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum distributive, yaitu :

a (b+c) = ab + ac dan a _Ù (b+c) = a _Ù b + a _Ù c

1.11.8.1. Vektor

1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.

a)    Hasil triple scalar.

Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r _Ù c) disebut triple scalar. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisi-sisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh volumenya.

Gambar 1.11.8.1.1. Contoh dari perkalian vector.

Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:

a (b _Ù c) = b (c _Ù a) = c (a _Ù b)

a (b _Ù c) = - a (c _Ù b)   à dimana b _Ù c = -c _Ù b

(a _Ù b) c = a (b _Ù c) = [abc]

Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar maka

[aab] = 0

b)   Hasil triple vektor.

Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a _Ù (b _Ù c) adalah hasil perkalian tiga vector. Apabila diketahui a _Ù (b _Ù c) = - a _Ù (c _Ù b) =  (c _Ù b) _Ù a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :

a _Ù (b _Ù c) = -(ab) c + (ac) b

      c)  Resolusi vector.

            Apabila a, b, c adalah tiga vector,  tidak coplanar dan x adalah vector arbitrary maka:

                      (i)  x [a (b _Ù c)] = a [ (b _Ù c) x] + b [(c _Ù a) x] + c [(a _Ù b) x]

                      (ii) x [a (b _Ù c) = (b _Ù c) (ax) + (c _Ù a) (bx) + (a _Ù b) (cx)

        Tensor

            Scalar l dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas, dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :

(1) l,   a,    a;b,   a ; b ; c,    a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.

(2) a ; b ; c =   (a ; b) ; c = a ; (b ; c)

(3)  a ; b ; c ; d =  (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d   

(4) l ; b ; c = (l ; b) ; c = l ; (b ; c)

(5) l b ; c = (l b) ; c = l ( b ; c)

(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)

(7) (a ; b)  (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)

(8) (a ; b) ..  (c ; d) = (ad) (bc)

(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)

(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b)  = (b ; a) ..  (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a)

(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d)

(12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C,      (B+C) ; A = B ; A + C ; A

(13) (a _Ù b) _Ù c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)

                        = c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)]

(14) A(x+y) = Ax + Ay,    (x+y)A = xA + yA

Definisi dari Tensor.

Sebuah vektor linier dengan operator F^(r) disebut tensor dari r, jika F⁽⁰⁾  scalar, dan jika untuk setiap integer positif r ³ 1dan untuk setiap vector x, F^(r) x adalah tensor r – 1. Apabila i₁ , i₂ , i₃, adalah vector yang saling tegak lurus maka dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x₁ i₁ ,x₂ i₂ , x₃ i_3.  Misalkan F adalah tensor ke2 pada bidang ke3, maka :

F_x = Fx₁ i₁  + Fx₂ i₂  + Fx₃ i₃

= Fi₁ (i₁x) + Fi₂ (i₂x)  + F i₃ (i₃x)

= [(Fi₁);i₁ + (Fi₂); i₂  + (Fi₃); i₃]x

1.12.     Definisi-definisi.

A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.

A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan posisi dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.

A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1 terhadap streamlinenya pada setiap waktu.

Viskositas : Koefisien viskositas () ada1ah perbandingan dari shear stress () pada setiap titik di da1am a1iran terhadap gaya geser rata-rata pada setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.

Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak menga1ami perubahan viskositas.

Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan tekanan atmosfernya.

Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .

Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζ-plane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i h ditransformasikan dengan hubungan ξ,, h dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan h = h(x,y).Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak menga1ami perubahan viskositas.

Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan tekanan atmosfernya.

Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .

Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζ-plane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i h ditransformasikan dengan hubungan ξ,, h dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan h = h(x,y).